Funciones (Teoría 2parte)

Teoremas

Teorema Condición necesaria para la existencia extremos locas.

   Si una función f tiene un extremo local en c, entonces c es un punto critico de f.

     

Máximo y mínimo local ó relativo.

   Una función f tiene un máximo relativo en el punto a, si f(a) es mayor o igual que los puntos próximos al punto a.

   Una función f tiene un mínimo relativo en el punto b, si f(b) es menor o igual que los puntos próximos al punto b.

Extremos relativos

Si f es derivable en a, a es un extremo relativo o local si:

1. Si f'(a) = 0.

2. Si f''(a) ≠ 0.

Máximos relativos

Si f y f' son derivables en a, a es un máximo relativo si se cumple:

1. f'(a) = 0

2. f''(a) < 0

Mínimos relativos

Si f y f' son derivables en a, a es un mínimo relativo si se cumple:

1. f'(a) = 0

2. f''(a) > 0

Integrales (Teoria)

Teoremas

Teorema fundamental del calculo integral

   Sea :

        f: [a,b] → R continua 

        F: [a,b] → R función integral de f

        

    Entonces F es derivable en (a,b) y F'(x) = f(x)     ∀x∈(a,b)

El área rayada en rojo puede ser calculada como h × f(x), o si se conociera la función A(X), comoA(x+h) − A(x). Estos valores son aproximadamente iguales para valores pequeños de h.

Regla de barrow

   Sea f(x)  función continua en el intervalo [a,b] y

   sea F(x) cualquier función primitiva (antiderivada) de f en [a,b], 

    es decir F '(x) = f(x)    ∀x∈[a,b]

Entonces

   

Funciones (Teoria.)

Teoremas

Teorema de Rolle
   Si :
        f es una función continua en el intervalo cerrado [a,b]
        f es derivable en el intervalo abierto (a,b)
        f(a)=f(b)

Entonces existe al menos un punto "c" que pertenece al intervalo (a,b) tal que f ' (c)=0

La interpretación gráfica del teorema de Rolle nos dice que hay un punto en el que la tangente es paralela al eje de abscisas.



Teorema del valor medio (Lagrange)
   Si :
        f es una función continua en el intervalo cerrado [a,b]
        f es derivable en el intervalo abierto (a,b)
       

Entonces existe al menos un punto "c" que pertenece al intervalo (a,b) tal que:

La interpretación geométrica del teorema del valor medio nos dice que hay un punto en el que la tangente es paralela a la secante.




Teorema del valor medio generalizado (Cauchy)
   Sean f y g  :
         continuas en el intervalo cerrado [a,b]
         derivables en el intervalo abierto (a,b)
       

Entonces existe al menos un punto "c" que pertenece al intervalo (a,b) tal que:

f '(c) = f (b) - f (a) 

                                                           g '(c)   g (b) - g (a)

 Siempre que g (b) - g(a) ≠ 0  y g '(c) ≠ 0



Regla de L'Hôpital :
   Sean f y g
      dos funciones definidas en el intervalo cerrado [a,b],
      y sean f(c)=g(c)=0, con c perteneciente a (a,b) y g'(x)≠0 si x≠ c .
   Si f y g
       son derivables en (a,b)

Entonces si existe el límite f '/g' en c, existe el límite de f /g (en c) y  es igual al anterior.

Por lo tanto,